Hay problemas โsuperadosโ, no porque se hayan resuelto, sino por la fatiga de no encontrarles soluciรณn. Se aban- donan. Se archivan. Peor aรบn: se desproblematizan, como dijo Ortega y Gasset. Ya ni se entiende por quรฉ preocupaban.
Asรญ sucede con el famoso problema de las paralelas, sobre el cual Xosรฉ Dรญaz Dรญaz ha escrito un libro notable: Dos arquivos xeomรฉtricos. Razรณn e realidade no pensamento de Rafael Dieste. El tรญtulo juega con otro de Dieste: Dos arquivos do trasno, cuentos breves traducidos por Cรฉsar Antonio Molina para la Colecciรณn Austral como De los archivos del trasgo.
Euclides no inventรณ la geometrรญa. Los astrรณnomos, agrimensores y constructores de Egipto, Babilonia, India y Grecia tenรญan conocimientos geomรฉtricos. El Teorema de Pitรกgoras (como despuรฉs se llamรณ) era conocido, pero como un saber prรกctico. La hazaรฑa intelectual de Euclides, lo que nunca se habรญa hecho, fue demostrarlo. Hizo lo mismo para los demรกs conocimientos, desplegรกndolos como una serie de teoremas demostrados sucesivamente, unos a partir de otros, con suprema originalidad.
Ya no eran este y aquel conocimiento, sino todo un sistema racional, construido a partir de elementos tan simples como: Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta (primer postulado). Una recta puede prolongarse indefinidamente (segundo postulado). Sus postulados eran obvios: afirmaciones aceptables sin demostraciรณn que, sin embargo, permitรญan demostrar los conocimientos menos obvios.
La belleza imponente del sistema euclidiano, en comparaciรณn con el conjunto disperso de conocimientos anteriores, lo estableciรณ como paradigma del saber. Deslumbrรณ. Todavรญa dos milenios despuรฉs, Spinoza adopta ese formato para su Ethica, ordine geometrico demonstrata.
Euclides se topรณ con un solo conocimiento previo que no encajaba con la misma elegancia: Si una recta cruza otras dos, formando con estas (del mismo lado) รกngulos internos cuya suma es menor que dos รกngulos rectos [180ยฐ], las dos rectas (prolongadas) se cruzan de ese mismo lado (quinto postulado, vรฉase ilustraciรณn).
Era verdad, pero no tenรญa la claridad inmediata de los primeros postulados. Hasta la redacciรณn es complicada. Parece mรกs bien un teorema. Pero Euclides no podรญa incluirlo en la serie de teoremas porque no pudo demostrarlo. Lo incluyรณ en la serie de postulados, como diciendo: Ustedes saben que es verdad. Acรฉptenlo sin demostraciรณn.
La propuesta era incรณmoda y, durante siglos, muchos intentaron lograr lo que Euclides no pudo: demostrar el quinto postulado. Todos fracasaron.
La investigaciรณn tuvo un giro sorprendente cuando Giovanni Girolamo Saccheri (1667- 1733) buscรณ la demostraciรณn por reducciรณn al absurdo: Supongamos que las dos rectas prolongadas indefinidamente no se cruzan como dice Euclides, y veamos a quรฉ absurdos se llega. Pero los resultados no fueron contundentes, como esperaba, sino un tanto extraรฑos. Habรญa abierto la puerta a las geometrรญas no euclidianas.
Por esa puerta entraron Nikolรกi Lobachevski (1792-1856), Bernhard Riemann (1826-1866) y muchos otros. Desarrollaron lo que Lobachevski llamรณ una geometrรญa imaginaria, donde se prescindรญa del quinto postulado y habรญa rectas que se aproximan a distancias cada vez menores y, sin embargo, no llegan a tocarse. Donde habรญa triรกngulos cuyos รกngulos no suman 180ยฐ, como demostrรณ Euclides, sino menos o mรกs.
En el siglo XIX se daba por supuesto que la verdadera geometrรญa era la de Euclides, sin perder de vista la presencia inquietante de las otras, nunca refutadas. Sin perder la esperanza de que se refutaran. Hasta hubo intentos de medir fรญsicamente triรกngulos gigantescos, que sรญ resultaron de 180ยฐ. Pero eso no daba seguridad absoluta, porque toda mediciรณn tiene un margen de error.
Todavรญa en 1903, Mach dijo que la geometrรญa es โla aplicaciรณn de matemรกticas a las experiencias relativas al espacioโ. Es decir, una especie de fรญsica, no una baraja de figuras imaginarias, ajenas a la realidad.
Los intentos fallidos por demostrar el quinto postulado desembocaron en una crisis del saber. ยฟCรณmo que no se puede demostrar si los รกngulos de un triรกngulo suman 180ยฐ, menos de 180ยฐ o mรกs de 180ยฐ? Si esto sucede en las matemรกticas, ยฟquรฉ certeza tenemos de quรฉ?
En un chiste muy conocido sobre el psicoanรกlisis, el paciente de un tic acude al psicoanalista y el tic no desaparece. Cuando lo cuestionan por la terapia inรบtil, la defiende: No fue inรบtil. Todavรญa tengo el tic, pero ya no me importa. Superรฉ el problema.
Asรญ se โsuperรณโ el problema de las paralelas. Ante el fracaso, se dio por terminada la bรบsqueda de una soluciรณn geomรฉtrica y se adoptรณ una โsoluciรณnโ filosรณfica: No importa que las geometrรญas de Euclides, Lobachevski y Riemann sean incompatibles entre sรญ. Las tres son rigurosas y consistentes. Por lo tanto, las tres son vรกlidas. No se puede demostrar cuรกl es la buena. Elige la que quieras.
La nueva actitud estรก implรญcita en David Hilbert (1862-1943). Construyรณ una geometrรญa sumamente general que tiene como casos particulares la de Euclides y las otras. Si postulas a llegas a la geometrรญa 1; si postulas b, llegas a la 2; etcรฉtera.
Fue criticado por Frege: โMe parece que usted quiere divorciar completamente la geometrรญa de nuestra intuiciรณn del espacio; hacerla una disciplina puramente lรณgica, como la aritmรฉtica.โ Pero que el Teorema de Pitรกgoras sea consistente no basta para afirmar que es verdadero. Hay que demostrarlo. โNo puedo admitir la verdad como inferencia de la consistencia.โ
Frente al problema que angustiรณ a los matemรกticos anteriores, los del siglo XX se liberaron, declarando superada la cuestiรณn. Lo cual desconcertรณ a muchos creyentes en la ciencia. ยฟAsรญ que daba igual una hipรณtesis que otra, aunque fueran incompatibles? ยฟAsรญ que lo cientรญfico era renunciar a investigar cuรกl era la buena?
Fue escandaloso. Ortega y Gasset, al presentar la traducciรณn del libro de Bonola, lo atestigua: โSe oye por dondequiera un monรณtono treno sobre la cultura fracasada y concluida.โ
Husserl, que habรญa estudiado matemรกticas, hablรณ sobre La crisis de las ciencias europeas, recogiendo en el tรญtulo una โfrase tan escuchada en nuestros dรญasโ. Hablรณ de โquejas generales sobre la crisis de nuestra cultura y del papel atribuido a las cienciasโ en esto. La โhumanidad europea modernaโ habรญa soรฑado un โedificio รบnico de verdades definitivas y teรณricamente trabadas, creciendo hacia el infinito, de generaciรณn en generaciรณnโ.
Se creyรณ que la ciencia era superior a la filosofรญa porque los grandes filรณsofos empiezan desde cero, una y otra vez, y cada uno construye un sistema diferente, en vez de aportar algo a un edificio comรบn, como los cientรญficos. โSi la filosofรญa fuera una ciencia, despuรฉs de mรกs de dos mil aรฑos de investigaciรณn, no existirรญa hoy en ella semejante falta de teoremas universalmente aceptadosโ (Brentano, 1874). Pero la coexistencia de geometrรญas incompatibles rompรญa la tradiciรณn del edificio รบnico. Ponรญa en crisis los cimientos del saber. Hacรญa perder la fe en la certidumbre cientรญfica.
Parecรญa que Oswald Spengler tenรญa razรณn diagnosticando en 1918 La decadencia de Occidente ante la Gran Guerra (1914-1918). El mundo histรณrico, polรญtico, social, artรญstico, literario, intelectual y hasta cientรญfico parecรญan desquiciados.
Es muy extraรฑo que Rafael Dieste (1899-1981), un poeta, narrador y dramaturgo celebrado por su obra en gallego y espaรฑol (vรฉase la Wikipedia en seis idiomas), se haya ocupado de cuestiones geomรฉtricas. Se supone que los escritores (y mรกs aรบn los hispรกnicos) deben estar exentos de inquietudes cientรญficas. Se supone que la geometrรญa es un volcรกn apagado, cuyos grandes momentos ya pasaron.
Lo mรกs extraรฑo de todo es que hizo descubrimientos importantes, y que su interรฉs no era ese. Llegรณ a la geometrรญa preocupado por la cultura, por aquel clima espiritual de crisis que encontrรณ de joven (acentuado en Espaรฑa por la Guerra Civil, 1936-1939).
Hoy estรก claro que algunas consecuencias de la fรญsica del siglo XX (la bomba atรณmica, por ejemplo) afectan de tal modo la vida humana que toda la humanidad debe hacerse cargo del problema, no solo los especialistas. Bajo esta luz hay que entender el รกnimo investigador de Dieste frente a la crisis de la verdad en los cimientos mismos de la ciencia: en la geometrรญa.
Fue profesor de literatura en el Instituto Tecnolรณgico de Monterrey y se entendiรณ muy bien con un grupo de estudiantes de ingenierรญa que formamos un club de lectura de clรกsicos de la ciencia. Le pedimos que hablara de los Elementos de Euclides y su charla fue una revelaciรณn. Nunca vimos tan claro que las matemรกticas se pueden leer, no solo operar, que es lo que suele aprenderse en ingenierรญa. No solo sabรญa cien veces mรกs geometrรญa que nosotros, sino que, en forma verdaderamente socrรกtica, nos hizo caer en la cuenta de una problemรกtica inquietante en el โsuperadoโ Euclides. Por entonces todavรญa no encontraba la soluciรณn que publicรณ unos aรฑos despuรฉs en el Nuevo tratado del paralelismo (1956).
Desgraciadamente, en la ciencia se ha vuelto imposible presentar un descubrimiento sin hacer carrera dentro del gremio respectivo: sacar un doctorado, incorporarse a un equipo acadรฉmico, asistir a convenciones, publicar primero trabajos pequeรฑos firmados con otros y, finalmente, artรญculos importantes (no libros) en revistas internacionales donde no se publica a los extraรฑos al gremio. Donde nunca se publicarรญan las investigaciones geomรฉtricas que Descartes y Pascal hicieron en su casa.
Afortunadamente, hubo en el gremio coincidencias sobre un teorema fundamental (XXXVI) del Nuevo tratado del paralelismo: โEn la hipรณtesis del paralelismo asintรณtico [Lobachevski], un par de paralelas es siempre superponible con cualquier otro par de paralelas.โ
Me sorprendiรณ encontrar el mismo teorema, demostrado por un procedimiento diferente, cinco aรฑos despuรฉs, en Geometrรญas no euclidianas del matemรกtico Luis Santalรณ. Por carta, el profesor Santalรณ me remitiรณ a Elementare Einfรผhrung in die Lobatschewskische Geometrie de Norden, publicado en Berlรญn Oriental en 1958, aunque originalmente en Moscรบ en 1953, donde el profesor ruso llegaba al mismo teorema, aunque tambiรฉn por otro procedimiento.
En 1961, el profesor canadiense H. S. M. Coxeter incluyรณ en Introduction to geometry, por un cuarto procedimiento, un teorema equivalente atribuido a D. W. Crowe (dos triรกngulos cualesquiera triplemente asintรณticos son congruentes). Por carta, Coxeter me aclarรณ que Crowe no habรญa publicado antes el teorema.
Hay, pues, todos los elementos para documentar como mรญnimo lo siguiente: entre 1953 y 1961 surgiรณ en la historia de la geometrรญa un nuevo teorema, a travรฉs (por lo menos) de cuatro personas y procedimientos diferentes. Y una de estas personas fue Rafael Dieste.
Tratando de entender la crisis de la cultura, llevado por unos problemas que llevan a otros, Dieste habรญa llegado a las fronteras de la ciencia, donde creรณ a la par que los especialistas.
Sin embargo, a diferencia de los especialistas, que llegaron al teorema y pasaron de largo, Dieste vio que implicaba una inconsistencia monumental con lo que Bertrand Russell (1872-1970) llamรณ โAxioma de libre movilidadโ; desarrollado por Hilbert en el Apรฉndice iv de sus Fundamentos.
Como si no pudiera creerlo, Dieste dedicรณ veinte aรฑos mรกs a darle toda clase de vueltas a la inconsistencia, a precisarla, a definir con mayor rigor las nociones geomรฉtricas implicadas y a simplificar sus demostraciones; trabajos que presenta en ยฟQuรฉ es un axioma? (1967) y culminan con las tres demostraciones del quinto postulado de Euclides en su Testamento geomรฉtrico (1975).
(Ese tรญtulo llamรณ tanto la atenciรณn de Roberto Bolaรฑo que hizo del libro y de su autor un tรณpico novelesco en โLa parte de Amalfitanoโ de 2666.)
Dieste demostrรณ el quinto postulado de Euclides partiendo de axiomas de libre movilidad. Le hubieran gustado a Euclides: โUn punto mรณvil no pertenece a su trayecto.โ Un punto mรณvil no puede pasar del punto a al punto b sin pasar por un punto intermedio. Con estos axiomas, Dieste reduce al absurdo la hipรณtesis de Lobachevski.
De igual manera, postulando que โen el espacio existen por lo menos cuatro puntos no situados en un mismo planoโ reduce al absurdo la hipรณtesis de Riemann.
No es fรกcil descubrir una soluciรณn cuando no se ve el problema. Tampoco es fรกcil reconocerla si aparece donde no era de esperarse. La historia de la ciencia estรก llena de reconocimientos tardรญos, de precursores inesperados. No es imposible que el volcรกn apagado de la crisis de los fundamentos entre de nuevo en actividad, y que algรบn especialista descubra lo mismo que Dieste: que la nociรณn de movimiento es decisiva en la cuestiรณn de las paralelas. Tan decisiva que aceptar los axiomas de libre movilidad permite demostrar el quinto postulado de Euclides.
Augurio prometedor. Dieste fue un escritor que ampliรณ sus horizontes a las matemรกticas. Xosรฉ Dรญaz Dรญaz es un licenciado en matemรกticas que ampliรณ sus horizontes a la literatura, y descubriรณ a Dieste, sobre el cual hizo una tesis de doctorado. Como Lewis Carroll, que escribiรณ un libro sobre Euclides y tambiรฉn Alicia en el paรญs de las maravillas, Dรญaz Dรญaz pasรณ de unas maravillas a otras.
Referencias
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Gottlob Frege, On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic [1885-1908], compilaciรณn, introducciรณn y traducciรณn de Eike-Henner W. Kluge, New Haven and London: Yale University Press, 1971, pp. 14, 20-21.
Ernst Mach, Space and geometry in the light of physiological, psychological and physical inquiry [1906, artรญculos publicados entre 1901 y 1903], from the German by Thomas J. McCormack, New York: Dover, 2004, p. 124.
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A. P. [Alexandr Petrovich] Norden, Elementare Einfรผhrung in die Lobatschewskische Geometrie [1953], traducciรณn de Waldemar Dege y Klaus-Dieter Rieck, Berlin [Oriental]: veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1958, p. 67.
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Rafael Dieste, Testamento geomรฉtrico (contiene: Introducciรณn a Euclides, Lobatchevski y Riemann. Los movimientos en geometrรญa. Tres demostraciones del v Postulado), A Coruรฑa: Ediciones del Castro, 1975.
Xosรฉ Dรญaz Dรญaz, Dos arquivos xeomรฉtricos. Razรณn e realidade no pensamento de Rafael Dieste, prรณlogo de Arturo Casas, Rianxo: Axรณuxere Editora, 2015. ~
(Monterrey, 1934) es poeta y ensayista.
