Según la leyenda que circulaba por los pasillos romanescos de Altgeld Hall cuando yo comenzaba mis estudios de doctorado, un matemático con estatus de vaca sagrada se acercó al recién estrenado medallista Fields –héroe local– y, tras felicitarlo, le dijo: “ahora, si lo que quieres es brillar en serio, tienes que resolver un problema abierto en teoría de números”. Una vez pasada la predecible indignación, el agraviado se puso a escudriñar en la literatura, y dos años más tarde publicó la solución a un problema de teoría de números que había permanecido intocable por más de treinta años.

La medalla Fields es algo así como el premio Nobel de las matemáticas, pero solo se otorga cada cuatro años a matemáticos menores de cuarenta, lo que nos permite a los matemáticos argumentar, porque así nos gusta pensarlo, que es más difícil ganarse una Fields que un Nobel. La leyenda arriba descrita (poco importa su veracidad) refuerza el mito según el cual la teoría de números es la rama más difícil de las matemáticas. El mismísimo Carl Gauss dijo alguna vez que si las matemáticas reinan sobre las ciencias, la teoría de números reina sobre las matemáticas.

La teoría de números es el estudio de los números naturales 1, 2, 3, etcétera. Las dos operaciones importantes son las que uno aprende desde muy temprano en la escuela: la suma y la multiplicación. Así que los conceptos y enunciados de la teoría de números son, en principio, mucho más accesibles que los conceptos y enunciados de cualquier otra rama de las matemáticas. Por ejemplo, un número natural es primo si tiene exactamente dos divisores. Es fácil ver que 2, 3, 5, y 7 son primos pero 1, 4, 6, 8, 9, y 10 no.

Los primos son a la teoría de números lo que los elementos de la tabla periódica son a la química. Así como toda molécula está compuesta de átomos elementales, todo número natural puede ser escrito como un producto de primos. Este resultado fue demostrado por Euclides hace más de dos mil años.

Euclides también demostró que hay una infinidad de primos. El argumento es una hermosa reducción al absurdo. Si hubiese un número finito de primos –argumentó Euclides– uno los puede enumerar de primero a último, y si uno los multiplica todos y luego suma 1, el número resultante no puede ser divisible por ninguno de ellos. Como dicho número tiene que ser el producto de primos, uno concluye que la lista que postuló completa no podía estarlo.

En el abismo histórico que nos separa de Euclides ha habido varios otros resultados mayores en teoría de números, aunque ninguno tan grande como el teorema de los números primos, el cual revela que los primos bailan de manera caprichosa sobre una delgada línea entre la estructura y la aleatoriedad. Dicho teorema, demostrado independientemente por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin en 1896, dice que la distancia promedio entre dos primos consecutivos menores que n es ln (n)

La demostración del teorema de los números primos es bastante complicada, pero Terence Tao la ha descrito como una suerte de operación musical. Uno le pasa una función a todos los números naturales, y esta función es ruidosa cada vez que detecta un primo, pero silenciosa cuando no. Después uno “escucha” la música de los primos con un aparato matemático llamado “transformada de Fourier”, y se da cuenta de que ciertas notas no pueden ocurrir.

Quizás sea justo decir que la música de los primos es un poco estridente. Hay una conjetura que ilustra muy bien este fenómeno. Si dos primos están a distancia 2, se los llama primos gemelos. Por ejemplo, 3 y 5 son primos gemelos, lo mismo que 3,756,801,695,685 x 2^666,669 – 1 y 3,756,801,695,685 x 2^666,669 + 1. La conjetura es que hay una infinidad de primos gemelos, y ha permanecido sin solución desde hace muchísimo tiempo. Una versión un poco menos ambiciosa de dicha conjetura reemplaza a la distancia 2 por una distancia N posiblemente mayor, y postula la existencia de una infinidad de pares de primos a distancia menor que N.

Hay otra conjetura que asevera que todo número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de dos primos. Por ejemplo, 100 = 97 + 3. Fue formulada por primera vez en una carta que Christian Goldbach le escribió a Leonhard Euler el 7 de junio de 1742. En el sucesivo intercambio, a Goldbach se le ocurrió formular otra conjetura una pizca menos ambiciosa: todo número impar mayor que 5 puede ser escrito como la suma de tres primos.

En estos días la comunidad matemática está de fiesta con la noticia de que las dos versiones menos ambiciosas de estas dos conjeturas históricas han sido resueltas. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott –súbito candidato de rigor para la siguiente medalla Fields– demostró la segunda conjetura de Goldbach, y el desconocido Yitang Zhang demostró que hay una infinidad de pares de primos a distancia menor que 70,000,000. (En las últimas dos semanas, ese número ha sido reducido a 59,470,640, y ya hay una pequeña comunidad de concursantes que buscan disminuir el número lo más posible.)

Si bien Helfgott es miembro de un grupo sin mayor representación en la comunidad matemática, su perfil académico se asemeja al del medallista Fields de la leyenda con que comienza esta nota. Yitang Zhang, por el otro lado, no logró conseguir trabajo académico al terminar su doctorado, tuvo que trabajar cierto tiempo en un motel en Kentucky para sobrevivir, no ha publicado ningún artículo desde el año 2001, y no cuenta, a sus cincuenta años, ni siquiera con una posición de profesor de planta.

A la fecha, los argumentos de Helfgott y Zhang han sido examinados por los expertos más importantes del mundo y el estatus de los dos resultados es sólido. Los dos triunfos son dignos de celebración, pero si el de Helfgott nos invita aplaudir los méritos extraordinarios de un matemático latinoamericano, el de Zhang resquebraja de manera aún más contundente el mito elitista que acompaña a la teoría de números. ~