FONT FACE=Georgia, Palatino, Times SIZE=2>arís bien vale una conferencia. Al menos una como la que hace cien años, en la mañana del miércoles 8 de agosto, David Hilbert dictó en el segundo Congreso Internacional de Matemáticas, que se llevaba a cabo al mismo tiempo que la exposición universal. El conferenciante expuso una lista de problemas que a su juicio señalaban caminos de investigación y resumían el saber o, mejor, la ignorancia matemática de esa época. Si bien Hilbert sólo describió en esa sesión diez problemas, su sinopsis con vocación de augurio contenía 23, cada uno formulado de modo sucinto aunque en algunos casos el profesor de Gotinga dio suopinión acerca de por dónde habría de conquistarse tal o cual fortaleza. Aunque no existe registro de la reaccióninmediata de los asistentes al congreso —poco más de 250 personas—, lo cierto es que la lista de Hilbert habría de convertirse en un inusual retrato hablado, por el tino de la selección y por la exuberancia con que más de una de esas semillas habría de germinar en el siglo xx.
Hilbert era entonces uno de los principales matemáticos de Alemania. Había nacido en Königsberg —o en sus cercanías, pues no se tiene noticia cierta de su lugar de nacimiento— en 1862, y a sus 38 años y medio era un reconocido investigador, no sólo por el indudable mérito de sus logros sino por la versatilidad demostrada al hacer pie en diversos terrenos de la matemática. A los 26 años había demostrado un célebre teorema planteado por Paul Gordan, pero lo hizo de un modo radicalmente distinto del que aplicaron hasta entonces sus contemporáneos. (Más que una prueba constructiva, en la que se da la receta para obtener el conjunto buscado, la de Hilbert muestra que talconjunto debe existir, con lo que el problema queda resuelto aunque de modo distinto del que espera quien pregunta, por ejemplo, cuánto es 3 por 4.) También se interesó en los fundamentos de su ciencia, especialmente los de la geometría, y, al convertir la demostración en tema de especulación, dio los primeros pasos de la metamatemática.
Aunque hay un sesgo hacia los temas que Hilbert había abordado o habría de abordar, los problemas son un claro producto de la era en que el rigor seenseñoreó entre los matemáticos, ensoberbeciéndolos. Así, los primeros seis se refieren a los cimientos de las matemáticas —figuran ahí la hipótesis del continuo y la aspiración por demostrar la coherencia de los axiomas de la aritmética—, los siguientes cinco a la teoría de números, tres más al álgebra, cuatro a la geometría e igual número al análisis, mientras que el vigesimotercero es en realidad una invitación a abundar en el estudio del cálculo de variaciones, a la sazón un área naciente y hoy un mero subcapítulo de la teoría de control, cuya utilidad en las ciencias aplicadas se manifiesta principalmente en el quehacer del ingeniero y el economista.
Hoy, algunos de los problemas de la lista han sido resueltos en toda la extensión de la palabra —el primero en salir de la bruma fue el tercero, que menos de un año después halló solución en los trabajos de un alumno del propio Hilbert—, de otros se conoce la respuesta en casos particulares, algunos más se han diluido por falta de interés —tal es elcaso del sexto, que clamaba por la axiomatización de la física—, unos cuantos aguardan todavía por una respuesta conclusiva y otros más fueron resueltos de un modo inquietante, al quedar en evidencia que estaban mal formulados o que es imposible dar una respuesta a favor o en contra. Esto último le haocurrido a problemas como el de la cuadratura del círculo, que aún hoy desvela a aficionados sin entrenamiento formal en matemáticas: la regla y el compás con los que se pretende "cuadrar" un círculo sólo pueden ocuparse de números algebraicos, a los cuales no pertenece ¼, el famoso número que vincula el área del círculo con su radio, por lo que el problema planteado por los antiguos griegos es irresoluble. Nuestro consuelo, si es que lo necesitamos, proviene desaber por qué cualquier intento de cuadratura está condenado al fracaso.
Como si anticipara la suerte que correrían sus problemas, o reflexionara acerca del papel que en las matemáticas tienen las preguntas abiertas, Hilbert dijo en esa mañana parisina: "Sabemos que cada época tiene sus propios problemas, los cuales en la siguiente son resueltos o desechados por parecer inútiles y sustituidos por otros nuevos. Si queremos hacernos una idea del probable desarrollo del conocimiento matemático en el futuro inmediato, dejemos que las preguntas que aún aguardan respuesta pasen por nuestra mente para saber qué soluciones podemos esperar del futuro". Quizás el problema cuya solución haya llamado más la atención del público es el célebre último teorema de Fermat, que no figura explícitamente en la lista hilbertiana sino que está dentro del décimo problema; en 1995, los diarios del mundo anunciaron que el inglés Andrew Wiles había forjado el eslabón definitivo en una demostración larga y compleja, la cual teníacomo subproducto la prueba de lo dicho por Fermat en el siglo XVII. Por otro lado, uno de los retos lanzados por Hilbert que sigue vivo —la hipótesis de Riemman— forma parte de los sieteproblemas del milenio que en marzo de este año planteó el estadounidense Instituto Clay; signo de los tiempos, quien resuelva alguno de esta septeta recibirá un millón de dólares más, como propina, el reconocimiento de la posteridad.
Las matemáticas parecen construidas en granito. Peor aún, parecen terminadas, exhaustas, como si ya en ellas todo estuviera dicho. Nada más falso. Como el propio Hilbert diagnosticaba, "mientras una rama de la ciencia ofrezca abundantes problemas por resolver, estará viva; la falta de problemas anticipa la extinción o al menos la interrupción del desarrollo independiente". Aunque el hombre de la calle no sea capaz de mirar la ebullición que ocurre en lacaldera de las matemáticas contemporáneas, la dificultad a que se enfrentaría un Hilbert vigesímico para componer su repertorio de preguntas abiertas es tan grande que resulta imposible siquiera pensar en una lista para el siglo que entra. Vista con optimismo nostálgico, la hazaña de Hilbert es, encontraste, una ovación para el porvenir que nos aguarda. –
